3 tipos de geometría
La geometría es un campo original de las matemáticas y, de hecho, es la más antigua de todas las ciencias, ya que se remonta al menos a los tiempos de Euclides, Pitágoras y otros “filósofos naturales” de la antigua Grecia. Al principio, la geometría se estudiaba para entender el mundo físico en el que vivimos, y la tradición continúa hasta hoy. Por ejemplo, el espectacular éxito de la teoría de la relatividad general de Einstein, una teoría puramente geométrica que describe la gravitación en términos de la curvatura de un “espacio-tiempo” de cuatro dimensiones. Sin embargo, la geometría va mucho más allá de las aplicaciones físicas, y no es descabellado afirmar que las ideas y los métodos geométricos siempre han impregnado todos los campos de las matemáticas.
En lenguaje moderno, el objeto central de estudio de la geometría es un colector, que es un objeto que puede tener una forma general complicada, pero tal que a pequeñas escalas “parece” un espacio ordinario de una determinada dimensión. Por ejemplo, un colector unidimensional es un objeto tal que, a pequeñas escalas, se parece a una línea, aunque en general se parece más a una curva que a una línea recta. Un colector bidimensional, a pequeña escala, se parece a un trozo de papel (curvado): hay dos direcciones independientes en las que podemos movernos en cualquier punto. Por ejemplo, la superficie de la Tierra es un colector bidimensional. Un colector de n dimensiones se parece localmente a un espacio ordinario de n dimensiones. Esto no se corresponde necesariamente con ninguna noción de “espacio físico”. Por ejemplo, los datos de la posición y la velocidad de N partículas en una habitación se describen mediante 6N variables independientes, porque cada partícula necesita 3 números para describir su posición y otros 3 números para describir su velocidad. Por lo tanto, el “espacio de configuración” de este sistema es una variedad de 6N dimensiones. Si por alguna razón el movimiento de estas partículas no fuera independiente, sino que estuviera restringido de alguna manera, entonces el espacio de configuración sería un colector de menor dimensión.
Cuántos tipos de geometría
En matemáticas, un campo es un conjunto en el que la suma, la resta, la multiplicación y la división están definidas y se comportan como las operaciones correspondientes sobre los números racionales y reales. Un campo es, por tanto, una estructura algebraica fundamental que se utiliza ampliamente en el álgebra, la teoría de números y muchas otras áreas de las matemáticas[cita requerida].
Los campos más conocidos son el campo de los números racionales, el campo de los números reales y el campo de los números complejos. Muchos otros campos, como los campos de funciones racionales, los campos de funciones algebraicas, los campos de números algebraicos y los campos p-ádicos, se utilizan y estudian habitualmente en matemáticas, especialmente en teoría de números y geometría algebraica. La mayoría de los protocolos criptográficos se basan en campos finitos, es decir, campos con un número finito de elementos.
La relación de dos campos se expresa mediante la noción de extensión de campo. La teoría de Galois, iniciada por Évariste Galois en la década de 1830, se dedica a comprender las simetrías de las extensiones de campo. Entre otros resultados, esta teoría demuestra que la trisección de ángulos y la cuadratura del círculo no pueden realizarse con un compás y una regla. Además, demuestra que las ecuaciones quínticas son, en general, irresolubles algebraicamente.
Geometría euclidiana
Las principales áreas de investigación en geometría son los colectores simplécticos, riemannianos y complejos, con aplicaciones a y desde la combinatoria, la física clásica y cuántica, las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales y la teoría de la representación.
La investigación en topología propiamente dicha se concentra actualmente en gran medida en el estudio de las variedades en dimensiones bajas. Los temas de interés incluyen la teoría de nudos, los colectores de 3 y 4 dimensiones y los colectores con otras estructuras, como los colectores simplécticos de 4 dimensiones, los colectores de contacto de 3 dimensiones y los colectores hiperbólicos de 3 dimensiones. Los problemas de investigación suelen estar motivados por partes de la física teórica, y están relacionados con la teoría geométrica de grupos, las teorías cuánticas de campos topológicos, la teoría gauge y la teoría de Seiberg-Witten, y la topología de dimensión superior.
Varios miembros del grupo de Geometría/Topología pertenecen al Grupo de Formación de Investigadores en Geometría y Topología, que realiza actividades y apoya a estudiantes de grado y postdoctorales en sus áreas de interés.
¿Es la trigonometría una rama de la geometría?
Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicaba casi exclusivamente a la geometría euclidiana,[a] que incluye las nociones de punto, recta, plano, distancia, ángulo, superficie y curva, como conceptos fundamentales[2].
Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Teorema Egregium (“teorema notable”) de Gauss, que afirma a grandes rasgos que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier incrustación específica en un espacio euclidiano. Esto implica que las superficies pueden estudiarse de forma intrínseca, es decir, como espacios independientes, y se ha ampliado a la teoría de los colectores y la geometría de Riemann.
Más adelante, en el siglo XIX, apareció que se pueden desarrollar geometrías sin el postulado de las paralelas (geometrías no euclidianas) sin introducir ninguna contradicción. La geometría que subyace a la relatividad general es una famosa aplicación de la geometría no euclidiana.
Desde entonces, el ámbito de la geometría se ha ampliado enormemente, y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes -geometría diferencial, geometría algebraica, geometría computacional, topología algebraica, geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria), etc. -o de las propiedades de los espacios euclidianos que se ignoran-, la geometría proyectiva que considera sólo la alineación de los puntos pero no la distancia y el paralelismo, la geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, la geometría finita que omite la continuidad, y otras.